Когда еще, кроме сентября, состоятся экзамены? И нужно ли быть зачисленным на университетские курсы, чтобы иметь право сдавать экзамены?

В январе. Не нужно. У курсов свои отдельные экзамены, они не тратят квоту сентябрьского и январского экзаменов.