Ситуация: паспорт в посольстве на шенген, предстоит поездка в Сербию (паспорта нет), дают ли какую-то справку в посольстве, по которой можно выехать-въехать? Или это только забирать паспорт нужно? И можно ли так вообще

Только забирать паспорт.

Нет справок, которые позволяют ездить между странами. Для этого используется загран паспорт