мы зашли в Bank of Cyprus сказали дайте нам счет за электричество)

Если прямо упорно требуют какой-то счет, вполне можно отбиться контрактом за телефон, и даже мобильный (хотя, тут уже под вопросом), в любом случае, паспорт ЕС + yellow slip открывают многие двери. Проверяют, чисто технически, вашу привязку к Кипру, не более того.