Или только один родитель может оформить?

Если есть возможность лучше оба, а так от одного вроде как хватает. Попробуйте тут ukr.cy уточнить, может есть какие нюансы.

Если тут на Кипре оформлена мать и ребенок, то разрешение от отца не надо. Если оформлены мать и отец, то погранец может уточнить в курсе ли отец. Они в системе видят депендентов. У меня через раз спрашивают, летаю с дочкой часто. Оформлена я, а она прицепом