из Кипра в Армению, например. Интересует именно вывоз из Кипра)

Декларация на выезде, могут спросить происхождение.
https://www.mof.gov.cy/mof/customs/customs.nsf/All/E906CCB9D3760124C22572BF002DF9A1

Я правильно понимаю, что выписки о движении денежных средств из банка будет в теории достаточно?

Да, если банк вам даст снять наличные - не забудьте бумаги о снятии.

Спасибо большое)

А еще интересный вопрос. Декларировать надо и объяснять появление всей суммы или только той части, которая выходит за предел в 10 тысяч? Позволительно ли, если не вся сумма подтверждена чеками/выписками? (Например, я продал какую-то личную вещь и получил наличные)

Всей суммы, всех валют и других аналогичных ценностей.