Подскажите, какие есть риски у россиянина с турецким паспортом, если он решит открывать бизнес на Кипре ? С точки зрения законодательства

Никаких. Если РФ паспорт есть то все визы из закрепа подходят, если только турецкий - то только национальная Кипрская.