Скажите, пожалуйста, в случае смены работы для ранее выданного рабочего ВНЖ нужно чтото делать? Беспокоит, что на рабочем Пинк слипе будет указано название старого работодателя.

Все сделает юрист вашей новой компании

Вам нужно пройти процедуру в миграции заново. Change of employer