Подскажите, пожалуйста, является ли контракт с кипрским работодателем основанием для нахождения на Кипре до момента получения рабочей визы? Пока живем по истекающей турвизе.

Нет. Тур визу можно продлить до 90 дней, если есть документы - подтверждение подачи на рабочую.