может есть у кого-то свежий пример нотариальной доверенности от второго родителя, разрешающее проживание, получение ВНЖ и безграничные путешествия в любые страны. Я думала, что есть какой-то шаблон у нотариуса, но они спрашивают, что именно указать, чтобы точно подошло для миграции и посольств.

1. посольство занимается дипломатией. 2. Форма свободная - google it

Верно вам говорит нотариус. Вы можете сами составить доверенность. Текст любой. Но обычно на путешествия - это одно. Притом все страны нужно перечислить, в которые отец разрешает. (Если напишите просто -вся Европа, то при подаче на визу не примут некоторые консульства). Нужно прописывать. На ВНЖ , постоянное проживание - другая доверенность. Все есть в Гугле.