Подскажите, нужно ли уведомлять банк о смене работодателя? Не будет ли иначе проблем с зачислением зарплаты от новой компании?

Если ничего не поменялось, надо и будут. Как минимум, при первом зачислении денег от нового юрлица перевод могут мариновать до тех пор, пока не дадите все нужные им документы

Лучше уведомить. Мне в какой-то момент заблочили счёт за перевод самому себе с другого счета, а при визите сказали в Хелленике, что я теперь могу только от работодателя деньги получать, а все остальное через согласование с банком.