Добрый день. Подскажите, при подаче документов на гражданство можно ли указать другую фамилию? Или она должна соответствовать той, что в документах РФ?

Она должна соответствовать тем документам на основании которых подаешься... Если был брак и в процессе смены фамилии, то можно теоретически податься уже с новой приложив свидетельство о браке - но лучше конечно сначала поменять паспорт, ВНЖ и тогда подаваться.

Вы прикладываете свое свидетельство о рождении. И в форме М127 в первом пункте вы пишете свое имя/фамилию как из свидетельства о рождении. А во втором пункте указываете смену, основание и дату смены. Сам документ о смене и его перевод тоже прикладываете (это может быть выписка из реестра, не обязательно сам документ)